2019版高考数学一轮复* 第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数*题教案 文

发布于:2021-07-21 22:00:11

课后作业夯关 2.4 二次函数与幂函数

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一、选择题

1.(2017·江西九江七校联考)幂函数 f(x)=(m2-4m+

4)xm2-6m+8 在(0,+∞)上为增函数,则 m 的值为( )

A.1 或 3 B.1

C.3

D.2

解析 由题意知 m2-4m+4=1 且 m2-6m+8>0?m= 1,故选 B.

2.(2018·吉林期末)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间

(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是( )

A.a>-14

B.a≥-14

C.-14≤a<0 D.-14≤a≤0

解析 ①当 a=0 时,函数 f(x)=2x-3 为一次函数,是 递增函数;
②当 a>0 时,二次函数开口向上,先减后增,在区间(- ∞,4)上不可能是单调递增的,故不符合;
③当 a<0 时,函数开口向下,先增后减,函数对称轴- 1a≥4,解得 a≥-14,又 a<0,故-14≤a<0.
综合得-14≤a≤0.故选 D.

3.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1 +x)=f(-x),那么( )
A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)
解析 由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)图象关于 x=12对称,又 抛物线开口向上,结合图象可知 f(0)<f(2)<f(-2).故选 D.

4.(2018·聊城检测)若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)= 2x,且 f(0)=1,则 f(x)的表达式为( )
A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1

解析 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得

??c=1, ???a?x+1?2+b?x+1?+c-?ax2+bx+c?=2x.

?2a=2,
?
故?a+b=0, ??c=1,

?a=1,
?
解得?b=-1, ??c=1,

则 f(x)=x2-x+1.故选 D.

5.(2018·雅安诊断)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图

象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1.

给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+

c=0;④5a<b.

其中正确的是( )

A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

解析 因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正确;对称轴为 x=-1,即-2ba=-1,2a-b=0, ②错误;结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③ 错误;由对称轴为 x=-1,知 b=2a.又函数图象开口向下, 所以 a<0,所以 5a<2a,即 5a<b,④正确.故选 B.

6.(2018·济宁模拟)设函数 f(x)=?????x22?+x>b0x?,+c?x≤0?,

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x

的解的个数为( )

A.4

B.2

C.1

D.3

解析 由解析式可得 f(-4)=16-4b+c=f(0)=c,解得

b=4.

f(-2)=4-8+c=-2,可求得 c=2.

∴f(x)=

?x2+4x+2?x≤0?,
?

又 f(x)=x,

?2?x>0?.

则当 x≤0 时,x2+4x+2=x,解得 x1=-1,x2=-2. 当 x>0 时,x=2,综上可知有三解.故选 D.

7.二次函数 f(x)的二次项系数为正数,且对任意的 x ∈R 都有 f(x)=f(4-x)成立,若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 实数 x 的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)

解析 由题意知,二次函数的开口向上,对称轴为直线 x=2,图象在对称轴左侧为减函数.而 1-2x2<2,1+2x-x2 =2-(x-1)2≤2,所以由 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得 1-2x2>1 +2x-x2,解得-2<x<0.故选 C.

8.已知对任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+

4-2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围是( )

A.1<x<3 B.x<1 或 x>3

C.1<x<2 D.x<2 或 x>3 解析 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x2-4x+
4) . 记 g(a) = (x - 2)a + (x2 - 4x + 4) , 由 题 意 可 得

??g?-1?>0, ???g?1?>0,

即?????gg??- 1?=1?= x2-x2- 3x+5x+2>60>,0,

解得 x<1 或 x>3.

故选 B.

9.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)

=g(b),则 b 的取值范围为( )

A.[2- 2,2+ 2 ] B.(2- 2,2+ 2)

C.[1,3]

D.(1,3)

解析 由题可知 f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3 =-(x-2)2+1≤1,若有 f(a)=g(b),则 g(b)∈(-1,1],即 -b2+4b-3>-1,解得 2- 2<b<2+ 2.故选 B.

10.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=

|x2-2x-3|与 y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,

m

ym),则∑i=1xi=(

)

A.0

B.m

C.2m

D.4m

解析 由 f(x)=f(2-x)知函数 f(x)的图象关于直线 x=1
对称.又 y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线 x=
1 对称,所以这两函数的交点也关于直线 x=1 对称.
不妨设 x1<x2<…<xm,则x1+2 xm=1,即 x1+xm=2,同理
m
有 x2+xm-1=2,x3+xm-2=2,…,又i∑=1xi=xm+xm-1+…+
m
x1,所以 2∑i=1xi=(x1+xm)+(x2+xm-1)+…+(xm+x1)=2m,
m
所以∑i=1xi=m.故选 B.

二、填空题 11.(2017·湖北孝感模拟)函数 f(x)=ax2-2x+1,若 y =f(x)在区间????-21,12????内有零点,则实数 a 的取值范围为 __(_-__∞__,__0_]__.

解析 f(x)=ax2-2x+1=0, 可得 a=-x12+2x=-????1x-1????2+1. 若 f(x)在????-12,12????内有零点,则 f(x)=0 在区间????-12,12????内 有解,当-12≤x<0 或 0<x≤12时,可得 a=-x12+2x≤0.所以 实数 a 的取值范围为(-∞,0].

12.(2018·九江模拟)已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果 对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 _????_-__21_,__4_???? __.

解析 因为 f(x)=x2+2(a-2)x+4, 对称轴 x=-(a-2), 对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立, 所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得:

??-?a-2?<-3, ???f?-3?>0

或??-3≤-?a-2?≤1, ?Δ<0

或?????- f?1??a>-0,2?>1, 解得 a∈?或 1≤a<4 或-12<a<1,所

以 a 的取值范围为????-21,4????.

13.(2017·北京丰台期末)若 f(x)=(x-a)(x-b)+(x- b)(x-c)+(x-c)(x-a),其中 a≤b≤c,对于下列结论:① f(b)≤0;②若 b=a+2 c,则?x∈R,f(x)≥f(b);③若 b≤a+2 c, 则 f(a)≤f(c);④f(a)=f(c)成立的充要条件为 b=0.其中正确 的是___①__②__③_____.(请填写序号)

解析 f(b)=(b-a)(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)·(b-a) =(b-c)(b-a),因为 a≤b≤c,所以 f(b)≤0,①正确;将 f(x)展开可得 f(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,又抛物 线开口向上,故 f(x)min=f????a+3b+c????.当 b=a+2 c时,a+3b+c= b,所以 f(x)min=f(b),②正确;f(a)-f(c)=(a-b)(a-c)-(c -a)·(c-b)=(a-c)(a+c-2b),因为 a≤b≤c,且 2b≤a+c, 所以 f(a)≤f(c),③正确;因为 a≤b≤c,所以当 f(a)=f(c) 时,即(a-c)(a+c-2b)=0,所以 a=b=c 或 a+c=2b,故 ④不正确.

14 . 对 于 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “*” : a*b =
??a2-ab,a≤b, ???b2-ab,a>b.
设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈ R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值 范围是__???_1_-1_6__3_,__0_???_.

解析 函数 f(x)=?????2-x2x-2+x,x,x≤x>00, 的图象如图所示.
设 y=m 与 y=f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为 x1,x2,x3.

由 y=-x2+x=-????x-12????2+14,得顶点坐标为????12,14????.当 y =14时,代入 y=2x2-x,得14=2x2-x,解得 x=1-4 3(舍去

正值),∴x1∈???1-4

3,0??.
?

又∵y=-x2+x 图象的对称轴为 x=12,

∴x2+x3=1,又 x2,x3>0,

∴0<x2x3<????x2+2 x3????2=14.

又∵0<-x1< 34-1,∴0<-x1x2x3< 31-6 1,

∴1-16

3 <x1x2x3<0.

三、解答题 15.(2018·中山月考)设二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0)满 足条件:①f(x)=f(-2-x);②函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切. (1)求 f(x)的解析式; (2)若不等式 πf(x)>????1π????2-tx 在|t|≤2 时恒成立,求实数 x 的 取值范围.

解 (1)∵由①知 f(x)=ax2+bx(a≠0)的对称轴方程是 x =-1,∴b=2a.
∵函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切, ∴方程组?????yy= =ax,x2+bx, 有且只有一解, 即 ax2+(b-1)x=0 有两个相等的实根. ∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,∴2a=1,∴a=12. ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=12x2+x.

(2)∵π>1,∴πf(x)>????1π????2-tx 等价于 f(x)>tx-2. ∵12x2+x>tx-2 在|t|≤2 时恒成立等价于一次函数 g(t) =xt-????12x2+x+2????<0 在|t|≤2 时恒成立, ∴?????gg??2-?<20?<,0, 即?????xx22- +26xx+ +44>>00,. 解得 x<-3- 5或 x>-3+ 5. ∴实数 x 的取值范围是(-∞,-3- 5)∪(-3+ 5, +∞).

16.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
F(x)=?????f-?xf??,x?x,>0x<,0, 求 F(2)+F(-2)的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试 求 b 的取值范围.

解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且-2ba=-1, 解得 a=1,b=2, ∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=??????-x+?x1+?21,?2x,>0x<,0. ∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.

(2)由 a=1,c=0,得 f(x)=x2+bx, 从 而 |f(x)|≤1 在 区 间 (0,1] 上 恒 成 立 等 价 于 - 1≤x2 + bx≤1 在区间(0,1]上恒成立, 即 b≤1x-x 且 b≥-1x-x 在(0,1]上恒成立. 又1x-x 的最小值为 0,-1x-x 的最大值为-2. ∴-2≤b≤0. 故 b 的取值范围是[-2,0].


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