2019高中数学专题复*直线与圆锥曲线的位置关系

发布于:2021-08-05 04:40:21

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(十七) 直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)

一、选择题

1.设直线

y=kx

x2 y2 与椭圆 4 + 3 =1

相交于

A,B

两点,分别过

A,B



x

轴作垂线,若垂

足恰好为椭圆的两个焦点,则 k 的值为( )

A.32

B.±32

C.±12

D.12

解析:选 B 由题意可得,c=1,a=2,b= 3,不妨取 A 点坐标为???1,±32???,则直线 的斜率 k=±32.
2.(2017·湖南五市十校联考)已知 F1,F2 分别是双曲线 E:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左、

右焦点,过点 F1 且与 x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点 M,N,已知△MF2N 是等腰直角三 角形,则双曲线的离心率是( )

A. 2

B.1

C.1+ 2

D.2+ 2

解析:选 C

b2 由已知得 a =2c,即

c2-2ac-a2=0,

所以 e2-2e-1=0,解得 e=1± 2,

又 e>1,所以 e=1+ 2,故选 C.

3.已知直线 l:x-y-m=0 经过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,

若|AB|=6,则 p 的值为( )

A.12

B.32

C.1

D.2

解析:选 B 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

∵抛物线的焦点为???p2,0???,

则由题意,得 m=p2.①

由?????xy-2=y2-pxm=0, 消去 y,得 x2-2(p+m)x+m2=0, ∴x1+x2=2(p+m),x1x2=m2,

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∴|AB|= 2· [2 p+m ]2-4m2=6.②

由①②得 p=32,故选 B.

x2 y2 4.已知双曲线12- 4 =1

的右焦点为

F,若过点

F

的直线与双曲线的右支有且只有一个

交点,则该直线的斜率的取值范围是( )

A.???- 33, 33???

B.(- 3, 3)

C.???- 33, 33???

D.[- 3, 3]

解析:选 C 由题意知,右焦点为 F(4,0),双曲线的两条渐*线方程为 y=± 33x.当过 点 F 的直线与渐*线*行时,满足与双曲线的右支有且只有一个交点,数形结合可知该直线

的斜率的取值范围是???-

3 3,

33???,故选

C.

5.已知圆(x-m)2+y2=4 上存在两点关于直线 x-y-2=0 对称,若离心率为 2的双曲

线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两条渐*线与圆相交,则它们的交点构成的图形的面积为(

)

A.1 B. 3

C.2 3 D.4 解析:选 D 由题意得直线 x-y-2=0 过圆心(m,0),所以 m=2,所以圆的方程为(x- 2)2+y2=4,且经过原点,易知渐*线与圆相交时的交点构成的图形为三角形,因为ca= 2, 所以ba=1,所以渐*线方程为 y=±x,所以交点坐标分别为(0,0),(2,2),(2,-2),所以

1 三角形的面积为2×2×4=4,选 D.
6.过椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭

圆 C 于另一点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若13<k<12,则

椭圆 C 的离心率的取值范围是( )

A.???14,34???

B.???23,1???

C.???12,23???

D.???0,12???

解析:选 C

由题图可知,|AF|=a+c,|BF|=a2-a c2,于是 k=a

a2-c2 a+c

.又13<k<12,

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1 a2-c2 所以3<a a+c

<12,化简可得13<11-+ee2<21,从而可得12<e<23,选 C.

7.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的实轴长为 4 2,虚轴的一个端点与抛物线 x2=

2py(p>0)的焦点重合,直线 y=kx-1 与抛物线相切且与双曲线的一条渐*线*行,则 p=

()

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:选 A 由抛物线 x2=2py(p>0)可知其焦点为???0,p2???,所以 b=p2,又 a=2 2,因

x2 4y2 此双曲线的方程为 8 - p2 =1,渐*线方程为

y=± 4

p

x.直线 2

y=kx-1

与双曲线的一条渐

*线*行,不妨设 k= p ,由???y=4 p 2 x-1, 4 2 ??x2=2py

可得 x2=2p???4 p 2x-1???=2p22x-2p,即

x2- p2 22

x+2p=0,则Δ=???-2p22???2-8p=0,解得 p=4.故选 A.

8.已知直线 y=1-x 与双曲线 ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐*线交于 A,B 两点,且过

原点和线段

AB

中点的直线的斜率为-

3a 2 ,则b的值为(

)

3 A.- 2

23 B.- 3

93 C.- 2

23 D.- 27

解析:选 A 由双曲线 ax2+by2=1 知其渐*线方程为 ax2+by2=0,设 A(x1,y1),B(x2, y2),
则有 ax21+by21=0①,ax22+by22=0②, 由①-②得 a(x21-x22)=-b(y12-y22). 即 a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2), 由题意可知 x1≠x2,且 x1+x2≠0,

∴yx11+ +yx22·yx11- -yx22=-ab,

设 AB 的中点为 M(x0,y0),

则 kOM=yx00=22yx00=yx11+ +yx22=- 23,

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又知 kAB=-1,∴- 23×(-1)=-ab,

∴ab=- 23.

9.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与抛物线

C 的一个交点,若|FP|=3|FQ|,则|QF|=( )

A.83

B.52

C.3

D.2

解析:选 A 设 l 与 x 轴的交点为 M,如图所示,过 Q 作 QN⊥l,垂

足为 N,则△PQN∽△PFM,所以||NMQF||=||PPFQ||=32,因为|MF|=4,所以|NQ|

=83,故|QF|=|QN|=83. uuur uuur
10.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,点 M(-1,2).若 MA ·MB
=0,则直线 l 的斜率 k=( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

解析:选 C 抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0),由题意可知直线 l 的斜率存在,故可设

直线 l 的方程为 y=k(x-1),联立?????yy2==k4x,x-1 =16k2+16>0,设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

消去 y 得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ

则???x1+x2=2k2k+2 4, ??x1x2=1,

??y1+y2=k x1+x2 ∴?
??y1y2=-4.

-2k=2k2k+4-2k=4k,

uuur uuur ∴ MA · MB =(x1+1,y1-2)·(x2+1,y2-2)

=(x1+1)(x2+1)+(y1-2)(y2-2)

=x1x2+x1+x2+1+y1y2-2(y1+y2)+4

2k2+4

8

4k2+4-8k

=1+ k2 +1-4-k+4= k2 =0,

∴4k2+4-8k=0,即 k2-2k+1=0,∴k=1,故选 C.

11.如图,抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(2,t)(t>

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0)在抛物线上,且|AF|=3.已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,则直线 GB 的斜率

为( )

3 A.- 4

3 B.- 2

22 C.- 3

2 D.- 3

解析:选 C 由抛物线的定义得|AF|=2+p2.

因为|AF|=3,所以

p 2+2=3,解得

p=2,

所以抛物线 E 的方程为 y2=4x. 因为点 A(2,t)(t>0)在抛物线 E:y2=4x 上,

所以 t=2 2,即 A(2,2 2).

由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

由???yy=2=24x2 x-1 , 得 2x2-5x+2=0,

解得 x=2 或 x=12,从而 B???12,- 2???. 又 G(-1,0),

所以直线 GB 的斜率 kGB=1- 2-0 =-2 3 2,选 C. 2- -1

12.(2017·长沙统考)P 是双曲线 C:x22-y2=1 右支上一点,直线 l 是双曲线 C 的一条

渐*线,P 在 l 上的射影为 Q,F1 是双曲线 C 的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为( )

A.1

15 B.2+ 5

15 C.4+ 5

D.2 2+1

解析:选 D 设 F2 是双曲线 C 的右焦点,因为|PF1|-|PF2|=2 2,所以|PF1|+|PQ|=

2 2+|PF2|+|PQ|,显然当 F2,P,Q 三点共线且 P 在 F2,Q 之间时,|PF2|+|PQ|最小,且

最小值为

F2 到

l

的距离.易知

l

的方程为

y=

x或 2

y=-

x2,F2(

3,0),求得 F2 到 l 的距

离为 1,故|PF1|+|PQ|的最小值为 2 2+1.选 D. 二、填空题

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13.过双曲线 x2-y32=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐*线于 A, B 两点,则|AB|=________.
解析:双曲线的右焦点为 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐*线方程为 x2-y32 =0,将 x=2 代入 x2-y32=0,得 y2=12,y=±2 3,∴|AB|=4 3.

答案:4 3 14.设椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的右顶点为 A、右焦点为 F,B 为椭圆 E 上在第二象

限内的点,直线 BO 交 E 于点 C,若直线 BF *分线段 AC,则 E 的离心率是________. 解析:设 AC 的中点为 M,连接 OM,FM,则 OM 为△ABC 的中位线,B,F,M 在一条线上,
于是△OFM∽△AFB,所以||FOAF||=21,即a-c c=12,解得 e=ca=13.

答案:13 15.(2017·成都二诊)如图,抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 经过焦点 F, 取线段 OB 的中点 D,延长 OA 至点 C,使|OA|=|AC|,过点 C,D 作 y 轴 的垂线,垂足分别为点 E,G,则|EG|的最小值为________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则|EG|=y4-y3=12y2-2y1.因为

AB

为抛物线

y2=4x

的焦点弦,所以

y1y2





4







|EG|



1 2

y2



2×???-y42???



1 2

y2



8 y2



2 12y2·y82=4,当且仅当12y2=y82,即 y2=4 时取等号,所以|EG|的最小值为 4.

答案:4

x2 y2 16.(2017·石家庄质检)已知 F 为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点的直
uuur uuur 线 l 交双曲线两支于 M,N 两点,且 MF · NF =0,△MNF 的面积为 ab,则该双曲线的离

心率为________.

uuur uuur

uuur uuur

解析:因为 MF · NF =0,所以 MF ⊥ NF .设双曲线的左焦点为 F′,则由双曲线

的对称性知四边形 F′MFN 为矩形,则有|MF|=|NF′|,|MN|=2c.不妨设点 N 在双曲线右支

上,由双曲线的定义知,|NF′|-|NF|=2a,所以|MF|-|NF|=2a.因为 S△MNF=12|MF|·|NF|

=ab,所以|MF||NF|=2ab.在 Rt△MNF 中,|MF|2+|NF|2=|MN|2,即(|MF|-|NF|)2+

2|MF||NF|=|MN|2,所以(2a)2+2·2ab=(2c)2,把

c2=a2+b2

b 代入,并整理,得a=1,所以

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e=ca=

1+???ba???2= 2.

答案: 2 三、解答题 17.在*面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),

且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2-1. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l 过点(0, 2)且与椭圆 C 相切,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意得,c=1,

又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2-1,

得 a-c= 2-1,联立解得 a= 2,则 b2=a2-c2=1, ∴椭圆 C 的方程为x22+y2=1.

(2)由题意,显然直线 l 必存在斜率,又直线过点(0, 2),

∴设所求直线 l 的方程为:y=kx+ 2,

联立方程??? x22+y2=1, ??y=kx+ 2,

消去 y,整理得(2k2+1)x2+4 2kx+2=0, 要使直线 l 与此椭圆相切, 则Δ=(4 2k)2-4(2k2+1)×2=0,

解得 k2=12,即 k=± 22,

∴所求直线方程为:y= 22x+ 2或 y=- 22x+ 2,

即直线 l 的方程为 x- 2y+2=0 或 x+ 2y-2=0. 18.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,且 y1y2=-4. (1)求抛物线 C 的方程;

(2)已知点 P(-1,k),且△PAB 的面积为 6 3,求 k 的值. 解:(1)由已知得 F???p2,0???, 设直线 AB 的方程为 y=k???x-p2???,

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联立方程???y=k???x-p2???, ??y2=2px

消去 x,

得 ky2-2py-kp2=0, ∴y1y2=-p2=-4, 从而 p=2,抛物线 C 的方程为 y2=4x.

(2)由(1)知 F(1,0),直线 AB 的方程为 y=k(x-1),

联立方程?????yy= 2=k4xx-k, 消去 x,得 ky2-4y-4k=0,

∴??? y1+y2=4k, ??y1y2=-4.

|AB|=

1 1+k2·

又 P 到直线 AB 的距离 d=

3|k| k2+1.

16 k2 -4×

-4

=4???1+k12???.

故 S△PAB=12×|AB|×d=6

1 1+k2=6 3.

解得 k=± 22.

19.设椭圆 C1:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为 23,F1,F2 是椭圆的两个焦点,M 是椭圆

上任意一点,且△MF1F2 的周长是 4+2 3. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左、右顶点分别为 A,B,过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点
E,若 C 点满足 AB―→⊥BC―→,AD―→∥OC―→,连接 AC 交 DE 于点 P,求证:|PD|=|PE|. 解:(1)由 e= 23,知ca= 23,所以 c= 23a.

因为△MF1F2 的周长是 4+2 3, 所以 2a+2c=4+2 3, 所以 a=2,c= 3,b2=a2-c2=1, 所以椭圆 C1 的方程为:x42+y2=1. (2)证明:由(1)得 A(-2,0),B(2,0), 设 D(x0,y0),所以 E(x0,0), 因为 AB―→⊥BC―→,所以可设 C(2,y1), 所以 AD―→=(x0+2,y0),OC―→=(2,y1),

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由 AD―→∥OC―→可得:(x0+2)y1=2y0,即 y1=x20+y02.

所以直线 AC 的方程为:

y 2y0

=x+4 2.

x0+2

整理得:y=2

y0 x0+2

(x+2).

又点 P 在 DE 上,将 x=x0 代入直线 AC 的方程可得:y=y20,

即点 P 的坐标为???x0,y20???,所以 P 为 DE 的中点, 所以|PD|=|PE|. 20.已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,其离心率 e=12,点 M

为椭圆上的一个动点,△MAB 面积的最大值是 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D,线段 BD 的垂直*分线与 y uuur uuur
轴交于点 P,当 PB · PD =0 时,求点 P 的坐标.

?? e=ca=12,

??? 解:(1)由题意可知

12×2ab=2 3, a2=b2+c2,

解得???ab= =2,3,

x2 y2 所以椭圆 C 的方程是 4 + 3 =1. (2)由(1)知 B(2,0),设直线 BD 的方程为 y=k(x-2),D(x1,y1),把 y=k(x-2)代入椭
x2 y2 圆方程 4 + 3 =1,
整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0, 所以 2+x1=3+164kk2 2,解得 x1=83k+2-4k62, 则 D???83k+2-4k62,3-+142kk2???, 所以 BD 中点的坐标为???3+8k42k2,3-+64kk2???, 则直线 BD 的垂直*分线方程为 y-3-+64kk2=-1k???x-3+8k42k2???,得 P???0,3+2k4k2???.

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uuur PB

·

uuur PD

=0,即???2,-3+2k4k2???·???83k+2-4k62,3-+144kk2???=0,

64k4+28k2-36 化简得 3+4k2 2 =0,即

64k4+28k2-36=0,

解得 k=±34.

故 P 点坐标为???0,27???或???0,-27???.


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